$$ PA1: \forall x \neg(s(x)=0) \\ PA2:\forall x\forall y (s(x)=s(y)\rightarrow x=y) $$

• PA1 e PA2 assocurano che in ogni loro modello, le interpretazioni dei numerali 0, s(0)... formano una sequenza infinita di elementi distinti
• Con questi due assiomi possiamo dimostrare che due numerali denotano elementi diversi, ma non possiamo dimostrare ∀x ¬(s(x) = x) (quindi che il successore di un elemento è sempre diverso dall'elemento stesso)
  • Controesempio: La struttura S = (U, I) dove
    • U = {0, 1, 2, ..., ω} = N ∪ {ω},
    • I(0) = 0
    • I(s) = {(0,1), (1,2), ....., (ω,ω)}
  • Questo è un modello di PA1 e PA2 ma che falsifica ∀x ¬(s(x) = x) (Dunque non è conseguenza logica di PA1 e PA2)