$$ \neg\forall x P(x)\Leftrightarrow_{FO}\exist x\neg P(x) \\ \neg\exist x P(x) \Leftrightarrow_{FO}\forall x\neg P(x) \\ \forall x P(x) \Leftrightarrow_{FO} \neg\exist x \neg P(x)\\ \exist x P(x) \Leftrightarrow_{FO}\neg\forall x \neg P(x) $$