I naturali come insieme definito induttivamente
- i naturali sono l'insieme induttivo per eccellenza
- Base: 0 appartiene ai naturali
- Passo: se n è appartiene ai naturali allora anche n+1 appartiene ai naturali,
- Chiusura: nient'altro appartiene ai naturali
Linguaggio L(PA) dell'Aritmetica di Peano
- C(L(PA)) = {0} - la definizione induttiva sui naturali contiene solo una costante, il numero 0
- F(L(PA)) = {s/1} - la def induttiva contiene solo la funzione _+1, detta successore
- P(L(PA)) = {=/2}
Il modello standard
- I termini 0, s(0), s(s(0)), ... sono detti numerali
- L(PA) - struttura N = (N, I) dove
- I(0) = 0
- I(s) = {(n, n + 1), n appartenente ai naturali}
- I(s(s(s(...)))) = n (n volte s)
- Dunque, ogni elemento del modello standard è l'interpretazione di uno e un solo numerale
La teoria PA dell'Aritmetica di Peano
Assiomi di Peano per la funzione successore e i numerali
Assiomi di Peano per la somma e il prodotto
Schema d'induzione